8 个项目化学习任务，覆盖函数概念、一次函数、反比例函数和二次函数。每个任务都让学生动手收集真实数据，最后交出一件数学作品，并向别人展示和讲解。
围绕初中函数设计一组项目化学习任务。要求有三条。
内容范围是函数概念、一次函数（含正比例）、反比例函数和二次函数，每块 2 个任务，共 8 个。8 个任务的成果形式尽量不重复。课标依据是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》。
| 编号 | 标题 | 内容 | 建议年级 | 成果形式 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 图象会讲故事 | 函数概念 | 八年级 | 情景短剧 |
| 2 | 心跳的曲线 | 函数概念 | 八年级 | 科学海报 |
| 3 | 自制一把弹簧秤 | 一次函数 | 八年级 | 实物模型 |
| 4 | 办卡，还是不办卡 | 一次函数 | 八年级 | 讲解短视频 |
| 5 | 吸管排箫 | 反比例函数 | 八年级下或九年级，看教材版本 | 自制乐器和演奏 |
| 6 | 平衡吊饰 | 反比例函数 | 八年级下或九年级，看教材版本 | 艺术装置 |
| 7 | 这一球能进吗 | 二次函数 | 九年级 | 轨迹分析长卷 |
| 8 | 义卖摊位定价师 | 二次函数 | 九年级 | 定价路演和价目海报 |
小明放学回家，路上发生了什么？一张图象就能讲清楚。这张图的横轴是时间，纵轴是小明离学校的距离。线往上走，说明他离学校越来越远。线是平的，说明他停下来了。线往下走，说明他在往回走。线越陡，走得越快。
你们小组要编一个"放学路上"的故事，画出它的图象，再把它演出来。
第一步，读图热身。老师会发给你们两张图象。请说一说图里的人每一段在做什么，用了几分钟，走了多少米。
第二步，编故事，画图象。故事里至少有四段不同的情节，其中要有一次停留和一次返回。先把每一段的时间和距离列成表格，再在坐标纸上画出图象。标清楚横轴、纵轴的名称和单位。
第三步，检查。时间能不能倒流？距离能不能是负数？同一个时刻，人能不能在两个地方？如果图象里出现了这些情况，请修改。再算一算每一段的速度是否合理。步行大约每分钟 60 到 100 米，骑车大约每分钟 200 到 300 米。
第四步，排练。在教室或操场上拉一条直线当作"回家的路"，按比例标出地点。一位同学按照图象走，其他同学配旁白和角色。表演时不要出示图象。
第五步，表演，观众画图。台下的同学边看边画出图象。表演结束后，亮出你们的原图，和观众的图比一比。哪里不一样？为什么？
最后每组交一张图象卡，上面有图象、表格和一段 100 字左右的故事简介。
说明字数 523
3 分钟左右的情景短剧，加一张图象卡。
跳绳一分钟，心跳会快多少？停下来以后，多久才能恢复？这一次，你们要用自己的身体做实验，把心率的变化画成图象，做成一张科学海报。
准备工作是学会测脉搏。用食指和中指按住手腕内侧，数 15 秒内跳动的次数，再乘 4，就是每分钟的心率。
第一步，提出问题。小组商量一个想研究的问题。例如，跳绳和慢跑，哪一种运动后心率恢复得更慢？经常锻炼的同学恢复得更快吗？
第二步，设计方案。想清楚哪些量要保持不变，例如运动时间都是 1 分钟。再想清楚哪个量在变化，哪个量随着它变化。分好工，有人运动，有人计时，有人记录。
第三步，收集数据。先测安静时的心率。运动 1 分钟后马上测一次，记为第 0 分钟。以后每隔 1 分钟测一次，一直测到第 8 分钟。把数据填进表格。
第四步，画图象。以时间为横轴，心率为纵轴，描点，再用平滑的线连起来。不同的人或不同的运动，用不同颜色画在同一张图上。
第五步，读图和解释。心率是时间的函数吗？为什么？哪一段下降得最快？大约第几分钟回到安静时的水平？如果继续测到第 15 分钟，图象会是什么样子？写出你们的推测和理由。
第六步，做海报。海报上要有研究问题、数据表、图象、发现和一条运动建议。让路过的同学一分钟内就能看懂。
安全提示。身体不舒服的同学请担任计时员或记录员。运动强度不要超过平时体育课的水平。
说明字数 536
科学海报，A2 大小或更大，含数据表和函数图象。
没有电子秤，怎么知道一块橡皮有多重？你们要用一根弹簧和一个函数，做出一把真的能用的秤。
需要的材料有一根弹簧（圆珠笔里的就可以，也可以用橡皮筋代替），一个小塑料袋当秤盘，一把刻度尺，一块硬纸板，还有已知质量的物品。可以向物理老师借钩码。也可以用水，1 毫升水大约重 1 克。
第一步，搭架子。把弹簧上端固定在硬纸板上，下端挂上秤盘。
第二步，测数据。每次往秤盘里加 10 克，量出弹簧的长度，至少测 6 次。把质量 x（克）和弹簧长度 y（厘米）填进表格。
第三步，找规律。在坐标纸上描点。这些点大致在一条直线上吗？每增加 10 克，长度大约增加多少？
第四步，求表达式。选两组数据，用待定系数法求出 y = kx + b。说一说 k 和 b 在这把秤上分别表示什么。再用其他几组数据检验，算出的长度和量出的长度相差多少？
第五步，画刻度。用表达式算出 5 克、15 克、25 克等质量对应的长度，在硬纸板上画出刻度线。这样，你们的秤就能读出没有测过的质量了。
第六步，试用和反思。称一称橡皮、钥匙和一支笔，再用电子秤核对。误差有多大？如果挂上很重的东西，规律还成立吗？请写出这把秤的量程，也就是 x 的取值范围。
展示时，每组带上秤和一张说明卡。说明卡上写清表达式、k 和 b 的含义、量程和误差。请其他组的同学来称一样东西，当场检验。
说明字数 532
实物模型，一把能使用的自制秤，加一张说明卡。
奶茶店、游泳馆、视频网站都在劝你办会员。办卡真的省钱吗？这要看你用多少次。你们要用一次函数把这笔账算清楚，拍成一条 2 分钟的讲解视频，帮同学做决定。
第一步，选一个真实的消费场景。到店里或网上查清楚收费规则，拍照或截图留作证据。常见的规则有两种。一种是不办卡，每次付原价。另一种是先交一笔会员费，以后每次打折。
第二步，列表达式。设消费次数为 x，总花费为 y 元，分别写出两种方案的函数表达式。例如，原价每次 15 元，就是 y = 15x。会员费 40 元，以后每次 10 元，就是 y = 10x + 40。想一想，x 可以取哪些数？可以取负数或小数吗？
第三步，画图象。把两个函数的图象画在同一个坐标系里，标出它们的交点。
第四步，解释图象。交点的横坐标和纵坐标各表示什么？交点左边，哪种方案省钱？右边呢？会员费在图象上的什么位置？每次的价格又体现在哪里？
第五步，给建议。调查 5 位同学，问问他们一个月大约消费几次。根据你们的图象，分别告诉他们该不该办卡。
第六步，做视频。视频里要出现真实的收费规则、两个表达式、图象和你们的结论。要让没学过一次函数的人也能听懂。不方便拍视频的小组，可以改成 2 分钟的现场讲解，配一张手绘图象。
挑战题。如果店家还有第三种方案，例如月卡不限次数，它的图象是什么样子？消费多少次以上它最划算？
说明字数 539
2 分钟讲解短视频，也可以换成现场讲解加手绘图象。
排箫上的管子长短不一，为什么能吹出高低不同的音？管子的长度和音的高低之间，藏着一个反比例函数。你们要找到它，再用它做一支能吹出曲子的吸管排箫。
材料有粗吸管、橡皮泥、剪刀、刻度尺和胶带。老师会提供能显示频率的调音软件。声音的高低用频率表示，单位是赫兹（Hz）。频率越大，音越高。
第一步，做实验。用橡皮泥封住吸管的一端，从另一端横着吹，让它发出稳定的声音。把吸管剪成 18、15、12、10、8 厘米几种长度，分别测出频率。把管长 x（厘米）和频率 y（Hz）填进表格。
第二步，找规律。管子变短，频率怎样变化？算一算每组数据的 x + y、x × y 和 y ÷ x。哪一个几乎不变？
第三步，建立函数。根据你们的发现，写出 y 关于 x 的函数表达式，确定 k 的值。描点，画出图象。图象是直线吗？
第四步，设计排箫。八个音的频率依次是 do 523，re 587，mi 659，fa 698，sol 784，la 880，si 988，高音 do 1047。用表达式算出每个音需要的管长，精确到 0.1 厘米。
第五步，制作和调试。按算出的长度剪管、封口，从长到短排好，用胶带固定。用调音软件检查每根管子。如果不准，想一想误差来自哪里，再微调。
第六步，演奏。练一首简单的曲子，例如《小星星》。展示时先吹曲子，再用图象讲清楚管长是怎么算出来的。
想一想，高音 do 的频率是 do 的 2 倍，它们的管长有什么关系？
说明字数 566
实物模型，一支吸管排箫，加现场演奏和讲解。
风一吹，吊饰上的小挂件轻轻转动，每一根横杆却总能保持水平。秘密在于挂件的质量和它到吊点的距离。你们要先用实验找出这个规律，再设计并制作一件平衡吊饰。
材料有一把 30 厘米的直尺、几根细木棍、细线、相同的回形针、彩色卡纸、剪刀和电子秤。
第一步，做一个简易杠杆。把细线系在直尺正中间，吊起来，调到水平。
第二步，做实验。在左边离中点 6 厘米的地方挂 2 个回形针，整个实验中保持不动。在右边挂 1 个回形针，移动它，直到直尺水平，记下它到中点的距离。再换成 2 个、3 个、4 个、6 个，重复实验。把个数 x 和距离 y（厘米）填进表格。
第三步，找规律。x 变大时，y 怎样变化？x 和 y 的乘积有什么特点？写出 y 关于 x 的函数表达式，画出图象。
第四步，预测和检验。如果右边挂 8 个回形针，应该挂在哪里？先用表达式算，再动手验证。如果右边的东西只有半个回形针那么重呢？直尺够长吗？由此说一说 x 的取值范围。
第五步，设计吊饰。吊饰至少有两层横杆，挂 4 个以上的挂件。每根横杆的吊点都在正中间。挂件用卡纸制作，主题自选，例如星球或动漫角色。先称出每个挂件的质量，再用上面的规律算出它该挂在哪里。把计算过程画成设计图。注意，下层的横杆和挂件合起来，就是上层的一个"大挂件"。
第六步，制作和调试。按设计图组装。如果某一层不平，查一查是质量称错了，还是距离量错了。
展示时，把吊饰挂起来，旁边贴上设计图和函数图象。
说明字数 576
实物模型，一件平衡吊饰，加一张设计图。
篮球出手后，在空中划出一条弧线。这条弧线很接近抛物线，可以用二次函数来描述。你们要拍下一次投篮，求出这条抛物线的表达式，做成一幅轨迹分析长卷。
第一步，拍摄。请老师或同学帮忙，在球场侧面固定好相机或手机，镜头正对投篮者和篮筐所在的平面。用视频记录一次完整的投篮。
第二步，取点。从视频中每隔相同的时间截一张图，至少取 7 个球的位置。把这些位置描到同一张图上。
第三步，定比例。篮筐离地面 3.05 米。量出图上篮筐到地面的长度，算出图上 1 厘米代表实际多少米。
第四步，建坐标系。建议以球的最高点为原点，水平向右为 x 轴的正方向。这时抛物线可以写成 y = ax²。想一想，a 是正数还是负数？
第五步，求表达式。选一个离原点较远的球的位置，读出它的坐标，代入求出 a。
第六步，检验。用表达式算出其他几个位置的 y 值，和图上量出的值比较。相差大吗？可能的原因是什么？
第七步，换一个坐标系。如果把原点放在投篮者脚下的地面上，表达式会变成 y = a(x − h)² + k 的形式。这里的 h 和 k 分别表示什么？a 变了吗？
第八步，用函数回答问题。球的最高点离地面多少米？如果投篮者前方 1 米处站着一位防守队员，他举手能摸到 2.5 米，这一球会被拦下吗？
最后，把照片、坐标系、表达式、检验结果和结论拼成一幅长卷，贴在教室里展出。不会打篮球也没关系，往纸篓里扔纸团同样可以研究。
说明字数 558
轨迹分析长卷，是一幅图文展板。
学校要办爱心义卖。你们摊位上的东西，定价多少才能筹到最多的善款？价格太高没人买，太低又赚不到钱。你们要用调查数据和二次函数找到最合适的价格，并在"定价路演"上说服全班。
第一步，选商品，算成本。选一种打算义卖的商品，例如手工书签或自制饼干。算出每件的成本。
第二步，调查。设计 5 个不同的价格。随机询问至少 30 位同学，每个价格他愿不愿意买。统计每个价格下愿意买的人数。
第三步，找价格和销量的关系。以价格 x（元）为横轴，愿意买的人数 n 为纵轴，描点。这些点大致在一条直线上吗？画一条尽量靠近各点的直线，在直线上选两个点，求出表达式 n = kx + b。k 是正数还是负数？它表示什么？
第四步，建立利润函数。每件的利润是价格减去成本，总利润 y 等于每件利润乘销量。把它整理成二次函数的形式。
第五步，求最大值。用配方法求出顶点，画出图象。也可以先求图象与 x 轴的两个交点，再利用对称性找到顶点。价格定为多少时利润最大？最大利润是多少？
第六步，回到现实。算出的价格方便找零吗？它在你们调查过的价格范围里吗？价格低于成本，或者高到没人买的时候，图象还有意义吗？由此说一说 x 的取值范围。如果需要，请调整定价，并说明理由。
第七步，路演。每组 3 分钟，向全班介绍商品、调查数据、两个函数的图象和最终定价。再画一张价目海报，义卖当天使用。义卖结束后，把真实销量和预测比一比。
说明字数 566
3 分钟定价路演，加一张价目海报。
初稿完成于 2026 年 9 月 21 日。STEAM Lab。